miércoles, 18 de noviembre de 2009

POLIGONOS


POLÍGONOS: POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.
Cada uno de los segmentos se denomina lado.
El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.
El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser mayor o igual a tres.
Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante.

Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo.
Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales.

Definición
Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de este polígono quede encerrada una porcién del plano llamada Región Poligonal.










Elementos de un polígono
-Lados: AB, BC, CD, AD
-Vértices A, B, C Y D.
-Vértices Consecutivos: B y C ; C Y D
-Diagonales AC, BD
-Angulos Interiores:ABC, BCD, CDA, DAB
-Lados consecutivos: BC y CD; AB y AD
-Angulos exteriores
-Perímetro : m + n + p + r
Clasificación
1.-De acuerdo al número de lados, los polígonos pueden ser :


Triángulo.- Cuando tiene 3 lados
Cuadrilátero.- Cuando tiene 4 lados
Pentágono.- Cuando tiene 5 lados
Exágono.- Cuando tiene 6 lados
Heptágono.- Cuando tiene 7 lados
Octágono.- Cuanco tiene 8 lados
Nonágono.- Cuando tiene 9 lados
Decágono.- Cuando tiene 10 lados
Endecágono.- Cuando tiene 11 lados
Dodecágono.- Cuando tiene 12 lados
Pentadecágono.- Cuando tiene 15 lados
Icoságono.- Cuando tiene 20 lados

2.-De acuerdo a la medida de sus elementos los polígonos pueden serPolígonos Convexos.-Cuando todos sus ángulos interiores miden menos de 180º










Polígonos Cóncavos.-Cuando al menos uno de sus ángulos interiores mide mas de 180º



Polígonos Equiláteros.-Cuando todos sus lados son de igual longitud


















Polígonos Equiángulos.-Cuando todos sus ángulos son de igual medida.














Polígonos Regulares.-Cuando son equiángulos y equiláteros a la vez.

Polígono Irregular.-Cuando no son regulares

Propiedades
1º Un polígono de n lados tiene también n vertices y n ángulos interiores.2ºSi un polígono tiene n lados, entonces desde cada vértice se podrán trazar(n-3) diagonales, las cuales dividen al polígono en (n-2) triángulos.Por ejemplo tenemoz un polígono de 9 lados.Desde un vértice podemos trazar solo (9-3)=6 diagonales, las cuales dividen al poligono en (6-2)=4 triangulos.Además:En un polígono de n lados podremos traar un total de D diagonales donde:

3ºLa suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados convexo o cóncavo se calcula asi: Si=180º(n-2)¿Por qué? Dede un vértice de un polígono de n lados podemos trazar (n-3) diagonales las cuales lo dividen en (n-2).Como la suma de ángulos interiores es 180º(*), entonces la suma total de ángulos interiores del polígono(Si) es(n-2)veces180º, es decir:Si=180º(n-2)Solo si el polígono es equiangulo de n lados, cada ángulo mide :
4ºLa suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo (uno por vértice) es 360º.Se expresa asi Se=360º
5ºSolo si el polígono es equiángulo de n lados, cada ángulo exterior se calcula asi:

6ºSi unimos el centro de un polígono regular con dos vértices, obtendremos un ángulo central.Como todos los ángulos centrales en un polígono regular son de igual medida, cada uno de ellos mide:

Formulas de Perímetro y área en algunos Polígonos


Problemas
1.-Sumando las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo obtenemos 540º¿Cuantos lados tiene dicho polígono?
2.Cada ángulo interior de un polígono equiángulo mide 135º¿Cómo se llama dicho polígono de acuerdo al número de sus lados?
3.-En un polígono descubrimos que se pueden trazar 594 diagonales¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
4.-Hallar el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40º
5.-Si el ángulo exterior de un polígono regular mide 36º¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono?

6.-¿Cuánto mide un ángulo interior de un polígono regular si un ángulo exterior mide 24º?
7.-¿Cómo se llama el polígono que tiene 44 diagonales?
8.-¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual la medida del ángulo interior es 8 veces la medida del ángulo exterior?

9.Dado el hexágono se conocen las medidas de 5 de sus ángulos exteriores que son las siguientes: 170º, 80º,90º,175º,115º¿Cuánto mide el sexto ángulo interior?
10.Dado el polígono, se advierte que desde uno de sus vértices se pueden trazar 12 diagonales¿Cómo se llama dicho polígono de acuerdo al número de sus lados?

También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.
Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.

Ejercicios:
1.- ¿Cual es la suma de los ángulos interiores de un decágono?
2.- ¿Que Polígono regular tiene ángulo central 45º?
3.- ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono?
4.- ¿Cuanto vale el ángulo interior de un eneágono regular?